» Yoneylem Arastirmasi - Modelleme Ornekleri

Yayinlanma Zamani: 2011-02-02 17:47:00





İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
İŞLETME FAKÜLTESİ
ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

MODELLEMELERLE İLGİLİ BEŞ ÖRNEK

Prof.Dr. Ataç SOYSAL Fatih KILINÇ

 

SORU 1:

Aykın işletmesi aşağıdaki özellikleri taşıyan bir ürün üretmektedir.

Yanma Noktası ≥ 280 derece

Özel Ağırlığı ≤ 1000

α muhtevası ≤ %8 hacim olarak

β muhtevası ≤ % 3 hacim olarak

İşletmenin ürünü litresi sırasıyla 16 TL, 0 TL ve 25 TL olan A, B, ve C aramaddelerinden elde edilmektedir.

Bu ara malların özellikleri aşağıdaki tablodaki gibidir.

 

Üretici yukarıdaki koullara uygun olarak ürünün en düşük maliyette üretmek istemektedir.

 

ÇÖZÜM:

Karara değişkenleri:

X1= üründeki A nın oranı

X2= üründeki B nin oranı

X3= üründeki C nin oranı

Maksimizasyon denklemi

Z= 16 X1 + 20 X2 +25 X3

X1, X2 ve X3 karışım oranları olduğuna göre;

X1 + X2 + X3 = 1 olacaktır

Özel Ağırlık kısıtlayıcısı

0,95 X1 + 1,20 X2 + 1,10 X3 ≤1,00

Yanma Noktası kısıtlayıcısı

280 X1 + 270 X2 + 290 X3 ≤280

α muhtevası kısıtlacısı

7 X1 + 8 X2 + 11 X3 ≤8

β muhtevası kısıtlacısı

4 X1 + 5 X2 + 3 X3 ≤3

Bu doğrual denklemiin modeli Şu şekilde olacaktır.

 

 

Z= 16 X1 + 20 X2 + 25 X3

0,95 X1 + 1,20 X2 + 1,10 X3 ≤ 1,00

280 X1 + 270 X2 + 290 X3 ≤ 280

7 X1 + 8 X2 + 11 X3 ≤ 8

4 X1 + 5 X2 + 3 X3 ≤ 3

 

ve X1 , X2 , X3 ≥ 0 dır.

 

 

 

 

 

SORU2:

Bir Kimya Fabrikaı x ve y gibiiki tip kimyasal ürün üretir. 1 litre ürünün maliyeti 60 TL, 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL dir. Müşteri istemine göre firma gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünü üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammeddelerden birisinini sunumu azdır. Sadece 30 gram sağlanabilmektedir. X ürününün herbir litreinde bu hammeddeden 3 gram ve y nin litresinde 5 gram gerekli olduguna göre firma toplam maliyeti mimumum kılmak için X ve Y den kaç litre üretmelidir?

 

Problemde karar değişkenleri:

 

X1 = Üretilecek X ürününün litresi

X2 = Üretilecek Y ürününün litresi

 

Minumum kılmak için toplam maliyet :

 

160 X1 + 240 X2 olacaktır

 

istenen en küçük miktar ise

X1 ≥ 6 , X2 ≥ 2 dir.

 

Hammadde kısıtlayıcısı ise

3 X1 + 5 X2 ≤ 30 dur.

 

Böylece model aşağıdaki gibi olacaktır.

 

Minumum Z = 160 X1 + 240 X2

Kısıtlayıcılar:

X1 ≥ 6 ,

X2 ≥ 2 dir.

3 X1 + 5 X2 ≤ 30

ve X1 , X2 ≥ 0.

 

SORU 3 :

 

Bir reklam şirketi cari reklam bütçesine göre en etkin reklamı belirlemek istemektedir. Şirketin televizyon, radyo , magazin ve gazete olmak üzere dört iletişi aracı vardır. Aşağıda verilen tabloda bilgiler pazarlama araştırma grubunca elde edilmiştir.

 

 

Şirket 5.600.000 TL dan daha fazla reklam harcaması yapmak istemektedir. Ayrıca istenenler şunlardır.

  1. Reklam en az 1.900.000 erkek müşteriye ulaşacaktır.

  2. Reklam en az 1.600.000 kadın müşteriye ulaşacaktır

  3. Reklam en az 4 birim televizyonda verilmelidir.

  4. 10 birimden daha fazla magazinde verilmemelidir.

  5. Reklam birim sayıları radyo ve gazetede herbiri 6 ve 20 araında olmalıdır.

 

Şirket ulaşılan toplam müşteri sayısını en yüksek kılmak için her bir iletişimde ne kadar reklam vermesi gerektiğine göre problemi doğrual programlama olarak formülleştirelim

 

Çözüm:

 

Karar değişkenleri:

 

X1 = televizyon reklam sayısı

X2 = radyo reklam sayıı

X3 = gazete reklam sayısı

X4 = magazin reklam sayısı

 

Reklam bütçesindeki kısıtlayıcılar:

 

480000 X1 + 200000 X2 + 160000 X3 + 100000 X4 ≤ 5.600.000

Diğer kısıtlayıcılar

  1. 250.000 X1 + 120.000 X2 + 90.000 X3 +60.000 X4 ≥ 1,900,000

  2. 200.000 X1 + 140.000 X2 + 120.000 X3 +80.000 X4 ≥ 1,900,000

  3. X1 ≥ 4

  4. X4 ≤ 10

  5. Radyo 6 ≤ X2 ≤ 20

 

450.000 X1 + 260.000 X2 + 210.000 X3 +140.000 X4 makimum kılınmalıdır.

 

Buna göre modelimimizi kuralım.

 

Z= 450.000 X1 + 260.000 X2 + 210.000 X3 +140.000 X4

250.000 X1 + 120.000 X2 + 90.000 X3 +60.000 X4 ≥ 1,900,000

200.000 X1 + 140.000 X2 + 120.000 X3 +80.000 X4 ≥ 1,900,000

X1 ≥ 4

X4 ≤ 10

X3 ≥ 6

X2 ≥ 20

X2 ≥ 6

X3 ≤ 20

 

Ve X1 , X2 , X3 ,X4≥ 0

 

SORU 4:

 

Ali Bey nakit parasını güvenilir gelir getiren yatırımlara ve devlet tahviline yatırarak yıllık gelirini ençok yapmak istemektedir.

 

Ali bey için elverişli 5 seçenek vardır.

  1. iş bankaı yıllık %42 faiz vermektedir

  2. Banker UMUT yıllık %48 faiz vermektedir

  3. Endüstri Bankası yıllık %44 faiz vermektedir.

  4. Şirket AYKA yıllık % 24 temettü dağıtmaktadır.

  5. Devlet tahvili yıllık % 6 faiz dağıtmaktadır.

 

Ali bey aşağıdaki kararları almaktadır.

 

  1. İş bankası ve banker Umuttaki toplam yatırım 2,4 milyonu aşmamalı

  2. Endüstri bankasındaki ve şirket Aykadaki toplam yatırım 4 milyonu geçmemeli

  3. iş bankaı ve banker umuta yatırdıgı miktar Endüstri bankası ve şirket aykaya yatırdığı miktarı geçmemeli.

  4. İş bankasındaki yatırımı 1,6 milyonu geçmemeli

  5. Endüstri bankasındaki yatırımı 2.4 milyonu geçmemeli

  6. İş bankası ve Endüstri bankasındaki toplam yatırımı devlet tahviline yatırdığı miktarı aşmamalı

ÇÖZÜM:

Karar değişkenleri:

 

X1 = iş bankaındaki yatırım tutarı

X2 = banker umuttaki yatırım tutarı

X3 = Endüstri Bankaındaki yatırım tutarı

X4 = Şirket Aykadaki yatırım tutarı

X5 = devlet tahviline yatırılan tutar

 

Makimum:

 

Z= 0,42 X1 +0,48 X2 + 0,44 X3 + 0,24 X4 +0,26 X5

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 8

X1 + X2 + ≤ 2,4

X3 + X4 ≤ 4

X1 ≤ 1,6

X3 ≤ 2,4

X1 + X2 - X3 - X4 ≤ 0

X1 + X3 - X5 ≤ 0

 

Ve X1 , X2 , X3 ,X4 , X5≥ 0

 

 

SORU 5 :

Bir çiftçinin buğday, mısır ve arpa ürünlerinin ekimi için 300 hektarlık arazisi vardır. Çiftçi hektar başına buğdaydan 150 TL mısırdan 220 TL ve arpadan da 180 TL kar etmektedir. İşgücü yönünden durum ele alındığında buğday için 150 hektardan ve arpa ekimi için 120 hektardan daha fazla yer ayıramamaktadır. Verimlilik yönünden ise en az 80 hektar buğday için yer ayırmalı ve mısır ekimi için arazinin % 30 dan fazlası ayrılmamalıdır. Çiftçi karını en büyüklemek için hangi ürüne ne kadarlık yer ayırmalıdır.

 

 

 

CÖZÜM:

Karar değişkenleri:

X1 = Buğday Ekimi için ayrılacak yer

X2 = mısır Ekimi için ayrılacak yer

X3 = arpa Ekimi için ayrılacak yer

 

Maksimum:

 

Z= 150 X1 + 220 X2 +180 X3

 

Kısıtlayıcılar :

 

X1 + X2 + X3 = 300

X1 ≤ 150

X3 ≤ 120

X1 ≥ 80

X2 ≤ 90

Ve X1 , X2 , X3 ≥ 0

 

KAYNAKLAR.

  1. Birinci soru: Öztürk, Ahmet, Yöneylem Araştırması,97, ekin kitabevi yayınları sayfa: 30

  2. İkinci soru: Öztürk, Ahmet, Yöneylem Araştırması,97, ekin kitabevi yayınları sayfa: 28

  3. Üçüncü Soru Öztürk, Ahmet, Yöneylem Araştırması,97, ekin kitabevi yayınları sayfa:28

  4. Dördüncü Soru: Öztürk, Ahmet, Yöneylem Araştırması,97, ekin kitabevi yayınları sayfa:44

  5. Beşinci Soru: Öztürk, Ahmet, Yöneylem Araştırması,97, ekin kitabevi yayınları sayfa:46


 

Sonraki Konu :


 

Motivasyonun Tanimi ve Önemi


Duyuru

Facebook sayfamiza üye olun


Duyuru
Sitemizde güncelleme çalismalari devam etmektedir.
Görüs ve önerilerinizi bizimle paylasabilirsiniz ! mail adresimiz : endustrimuhendisligi@hotmail.com